Yang lalu saya telah membahas mengenai volum kerucut terpancung dengan
menggunakan kalkulus, sekarang saya akan membahas volum limas terpancung. Kali
ini saya akan menyelesaikannya dengan geometri aritmetik. Agar lebih variatif,
saya mengambil limas segi empat, seperti pada gambar berikut:
Perhatikan bahwa t = t 1 - t 2.
Menggunakan rumus perbandingan segitiga, didapatkan:
sehingga
Volum prisma
terpancung, V ialah:
Perhatikan persamaan di atas identik dengan volum kerucut terpancung, berhubung
kerucut ialah limas segi-tak-hingga. Secara umum untuk limas segi berapapun,
persamaan volum ini dapat kita tuliskan:
dengan L1 dan L2 luas alas
dan tutup limas terpancung.
Yang lalu pada postingan mengenai volum kerucut
terpancung, saya memberikan problem jika kerucut terpancung miring. Ternyata
setelah mencakar berlembar-lembar saya tetap tidak mendapatkan solusinya
menggunakan kalkulus. Namun menggunakan geometri dengan sampel limas persegi,
dapat kita generalisasi untuk mendapatkan solusi volum kerucut terpancung
miring.
Oke, ambil
sampel limas persegi terpancung yang terpancung miring, ABCD.EFGH
Terdapat dua buah limas
terpancung (sebagai prisma miring), yang di bawah ABCD.GF dan yang di atas
EFGH.DA. Di sini kita mendefinisikan Δs = (s1 - s2 )/2. Pecah limas menjadi dua bagian, yaitu dua buah prisma miring
alas dari kedua prisma tadi merupakan bagian dari trapesium KEFL, di mana:
Alas prisma bawah, segitiga KFL:
Alas prisma atas, segitiga KFE:
A. Volum prisma bawah
Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di
atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFL dan tinggi =
t, sehingga volumnya:
kemudian masih terdapat dua limas persegi panjang di
bagian kiri dan kanan, keduanya tentu kongruen. Volum keduanya yaitu:
Jadi, volum total prisma bawah, V1
didapatkan:
B. Volum prisma atas
Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di
atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFE dan tinggi =
t, sehingga volumnya:
Kemudian masih terdapat dua limas segitiga yang
kongruen, salah satunya limas A.KFE yang luas alasnya sama dengan segitiga KFE
dan tinggi = AK = Δs, volum keduanya ialah:
Jadi, volum total prisma atas, V2
didapatkan:
Volume total keduanya V1 + V2,
haruslah sama dengan volum limas terpancung yang telah didapatkan pada posting
yang lalu. Kita coba jumlahkan
Ternyata sesuai..
Dengan melakukan generalisasi, Volum kerucut
terpancung miring ialah sebagai berikut:
Di mana r1 dan r2
merupakan radius lingkaran alas dan radius llingkaran tutup. Dengan demikian,
problem lanjut pada postingan volum kerucut terpancung dapat diselesaikan.
