Rabu, 25 Februari 2015

limas dan kerucut terpancung



        Yang lalu saya telah membahas mengenai volum kerucut terpancung dengan menggunakan kalkulus, sekarang saya akan membahas volum limas terpancung. Kali ini saya akan menyelesaikannya dengan geometri aritmetik. Agar lebih variatif, saya mengambil limas segi empat, seperti pada gambar berikut:
http://1.bp.blogspot.com/_N4F0d18jDnI/TU0YW5jrilI/AAAAAAAAAUM/56ptqvJ8rP0/s320/Untitled.gif

        Perhatikan bahwa t = t 1 - t 2. Menggunakan rumus perbandingan segitiga, didapatkan:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfrac%7Bs_1%7D%7Bs_2%7D=%5Cfrac%7Bt_1%7D%7Bt_2%7D

sehingga

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20t_2=t_1%5Cfrac%7Bs_2%7D%7Bs_1%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20t=t_1-t_2=t_1-t_1%5Cfrac%7Bs_2%7D%7Bs_1%7D=t_1%5Cleft%20%281-%5Cfrac%7Bs_2%7D%7Bs_1%7D%20%5Cright%20%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20t_1=%5Cfrac%7Bt%7D%7B1-%5Cfrac%7Bs_2%7D%7Bs_1%7D%7D

Volum prisma terpancung, V ialah:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20V=V_1-V_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Ds_1%5E2%5C,%20t_1-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Ds_2%5E2%5C,%20t_2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20V=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt_1%5Cleft%20%28%20s_1%5E2-%5Cfrac%7Bs_2%7D%7Bs_1%7Ds_2%5E2%20%5Cright%20%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20V=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cfrac%7Bt%7D%7B1-%5Cfrac%7Bs_2%7D%7Bs_1%7D%7D%5Cleft%20%28%20s_1%5E2-%5Cfrac%7Bs_2%5E3%7D%7Bs_1%7D%20%5Cright%20%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20V=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cfrac%7Bt%5C,%20s_1%7D%7Bs_1-s_2%7D%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bs_1%5E3-s_2%5E3%7D%7Bs_1%7D%20%5Cright%20%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20V=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C,%20t%5C,%20%5Cfrac%7Bs_1%5E3-s_2%5E3%7D%7Bs_1-s_2%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20V=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C,%20t%5C,%20%5Cfrac%7B%28s_1%5E2+s_1s_2+s_2%5E2%29%28s_1-s_2%29%7D%7Bs_1-s_2%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20V=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C,%20t%5C,%20%28s_1%5E2+s_1s_2+s_2%5E2%29

        Perhatikan persamaan di atas identik dengan volum kerucut terpancung, berhubung kerucut ialah limas segi-tak-hingga. Secara umum untuk limas segi berapapun, persamaan volum ini dapat kita tuliskan:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20V=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C,%20t%5C,%20%28L_1+%5Csqrt%7BL_1L_2%7D+L_2%29

dengan L1 dan L2 luas alas dan tutup limas terpancung.


Yang lalu pada postingan mengenai volum kerucut terpancung, saya memberikan problem jika kerucut terpancung miring. Ternyata setelah mencakar berlembar-lembar saya tetap tidak mendapatkan solusinya menggunakan kalkulus. Namun menggunakan geometri dengan sampel limas persegi, dapat kita generalisasi untuk mendapatkan solusi volum kerucut terpancung miring.
        Oke, ambil sampel limas persegi terpancung yang terpancung miring, ABCD.EFGH

http://3.bp.blogspot.com/_N4F0d18jDnI/TU5E6qZEKLI/AAAAAAAAAUU/Qs440V2vcJA/s640/limas+terpancung.jpg 

        Terdapat dua buah limas terpancung (sebagai prisma miring), yang di bawah ABCD.GF dan yang di atas EFGH.DA. Di sini kita mendefinisikan Δs = (s1 - s2 )/2. Pecah limas menjadi dua bagian, yaitu dua buah prisma miring

http://3.bp.blogspot.com/_N4F0d18jDnI/TU5E7nRBPpI/AAAAAAAAAUY/_dB-Fx4Afpk/s640/prisma+1+dan+2.jpg

alas dari kedua prisma tadi merupakan bagian dari trapesium KEFL, di mana:
Alas prisma bawah, segitiga KFL:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?L_%7B%5Ctextup%7BKFL%7D%7D=%5Cfrac%7Bs_1%5C:%20t%7D%7B2%7D

Alas prisma atas, segitiga KFE:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?L_%7B%5Ctextup%7BKFE%7D%7D=%5Cfrac%7Bs_2%5C:%20t%7D%7B2%7D

http://2.bp.blogspot.com/_N4F0d18jDnI/TU5E8Bjd26I/AAAAAAAAAUc/d2deORxrfoA/s320/trapesium1.jpg


A.  Volum prisma bawah
Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFL dan tinggi = t, sehingga volumnya:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V=%5Ctextup%7BLuas%20alas%20x%20tinggi%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V=L_%7B%5Ctextup%7BKFL%7D%7D%5Ctimes%20s_2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cfrac%7Bs_1t%7D%7B2%7Ds_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Ds_1s_2t

kemudian masih terdapat dua limas persegi panjang di bagian kiri dan kanan, keduanya tentu kongruen. Volum keduanya yaitu:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V=2%5Ctimes%20V_%7B%5Ctextup%7BF.ABLK%7D%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V=2%5Ctimes%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20s%5C:%20s_1%5C:%20t%7D%7B3%7D=2%5C:%20%5Cfrac%7Bs_1-s_2%7D%7B2%7D%5C:%20%5Cfrac%7Bs_1t%7D%7B3%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5Cleft%20%28%20s_1%5E2-s_1s_2%20%5Cright%20%29

Jadi, volum total prisma bawah, V1 didapatkan:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_1=%5Cfrac%7Bs_1s_2t%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%28s_1%5E2-s_1s_2%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_1=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5Cleft%20%28%20s_1%5E2+%5Cfrac%7Bs_1s_2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29


B.  Volum prisma atas
Pecah lagi menjadi tiga bagian, seperti gambar di atas, yaitu sebuah prisma segitiga tegak, dengan alas segitiga KFE dan tinggi = t, sehingga volumnya:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V=L_%7B%5Ctextup%7BKFE%7D%7D%5Ctimes%20s_2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cfrac%7Bs_2%5C:%20t%7D%7B2%7Ds_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Ds_2%5E2%5C:%20t

Kemudian masih terdapat dua limas segitiga yang kongruen, salah satunya limas A.KFE yang luas alasnya sama dengan segitiga KFE dan tinggi = AK = Δs, volum keduanya ialah:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?2%5Ctimes%20V_%7B%5Ctextup%7BA.KFE%7D%7D=2%5Cfrac%7BL_%7B%5Ctextup%7BKFE%7D%7D%5Ctimes%20%5Ctextup%7BAK%7D%7D%7B3%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?2%5Ctimes%20V_%7B%5Ctextup%7BA.KFE%7D%7D=2%5C:%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C:%20%5Cfrac%7Bs_2t%7D%7B2%7D%5C:%20%5CDelta%20s=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dt%28s_1s_2-s_2%5E2%29

Jadi, volum total prisma atas, V2 didapatkan:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_2=%5Cfrac%7Bs_2%5E2%5C:%20t%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dt%28s_1s_2-s_2%5E2%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dts_1s_2+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dts_2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5Cleft%20%28%20s_2%5E2+%5Cfrac%7Bs_1s_2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29


Volume total keduanya V1 + V2, haruslah sama dengan volum limas terpancung yang telah didapatkan pada posting yang lalu. Kita coba jumlahkan

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_1+V_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5Cleft%20%28%20s_1%5E2+%5Cfrac%7Bs_1s_2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5Cleft%20%28%20s_2%5E2+%5Cfrac%7Bs_1s_2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_1+V_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5Cleft%20%28%20s_1%5E2+s_1s_2+s_2%5E2%20%5Cright%20%29

Ternyata sesuai..


Dengan melakukan generalisasi, Volum kerucut terpancung miring ialah sebagai berikut:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_1=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7Dt%5Cleft%20%28%20r_1%5E2+%5Cfrac%7Br_1r_2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?V_2=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7Dt%5Cleft%20%28%20r_2%5E2+%5Cfrac%7Br_1r_2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29

Di mana r1 dan r2 merupakan radius lingkaran alas dan radius llingkaran tutup. Dengan demikian, problem lanjut pada postingan volum kerucut terpancung dapat diselesaikan.
http://3.bp.blogspot.com/_N4F0d18jDnI/TU5Ob2j0A-I/AAAAAAAAAUg/tG5ST0pObsY/s1600/kerucut3.jpg